Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Math måndag: Linkages - The Straight Dope

För Matematiska museet

Och här är ytterligare en del i vår episka Math Mondays-serie på den invecklade världen av mekaniska kopplingar. Se introduktionen av Linkages-serien för MoMath Linkage Kit, en introduktion och allmänna instruktioner.

Okej, den spänning som omger en (icke-) existens av en linjär koppling har byggt tillräckligt länge. Låt oss skära till jakten:

Peaucellier Linkage Ingredients: Sex 24-bar (A, B, C, D, F och H), två 60-staplar (B och D) och en penna.

Vägbeskrivning: Fix A horisontellt. Länk den ena änden av A till B. Länk den bortre änden av B till både C och D. Läng C-änden till både E och F. Länka den bortre änden av D till G och H. Länga ändarna på F och F. H med en penna. Länk de bortre ändarna av E och G till andra änden av A.

Att använda: Vrid B upp och ner så långt det går, håll pennan i hålritningen på papperet.

Och här är bilderna:

Är det ... kan det vara ... är den linjen Peaucellier-länken ritar en rättvis godhet? Det är faktiskt, och orsaken drar sig i en ganska fin matematik: teorin om "inversion i en cirkel". Inversion i en cirkel är en geometrisk operation som omarrangerar ett plan på följande sätt: en punkt på avstånd d från en speciell punkt (kallad inversionscentrum) flyttas för att ligga i samma riktning från inversionscentrum, men på ett avstånd av 1 / d. Det är allt som finns till det, men inversion i en cirkel har ett antal intressanta och användbara egenskaper: det bevarar vinklar och en kurva som antingen är en cirkel eller en rak linje omvandlas till en annan kurva som också är antingen en cirkel eller rak linje. Särskilt är en cirkel som går genom inversionscentrum omvandlad till en rak linje som inte går genom inverteringscentrumet. Och det är precis den egendom som Peaucellier behövde: hans koppling är i grunden bara en mekanism för att utföra inversion i en cirkel, kopplad till den allra första enklaste kopplingen som diskuterades här: en kompass för att rita cirkeln. I detta fall ligger inversionscentrum längst ner i A, och stapel B beskriver en cirkel som går genom inversionscentrumet.

Det är också intressant att notera att en elev av Chebyshevs, som hamnade i sin rådgivares korståg för att hitta en linjär koppling, självständigt upptäckte Peaucellier-kopplingen ungefär sju år senare. Det var en idé vars tid hade kommit, trots att det i praktiken med så många leder är svårt att bygga en Peaucellier-koppling som ger extremt noggrann rak motion - det finns nästan alltid en liten bit i varje led och det lägger till .

Nästan varje ide som är värd att ha kan förfina, och denna koppling är inget undantag. Här är en länk med betydligt färre leder och en väldigt intressant rörelse. Observera att så långt jag vet finns det ingen koppling mellan detta och den författare som Math Mathays tidigare har skrivit.

Hart A-Frame Ingredients: En 60-bar (A), två 60-bar med hål på 45 (B och C), tre 30-bar (D, E och F) och en penna.

Vägbeskrivning: Fix A horisontellt. Länk varje ände av A till en 60-bar med ett hål på 45 (B och C). B till C0; länk C30 till D och D tillbaka till den högra änden av A. Sätt en penna i C60. Länk B45 till D och B60 till E. Länka den andra änden av D till C45. Länk C60 till F, och länka de fria ändarna på E och F med en penna.

Att använda: Vrid B så långt åt vänster och höger som det ska gå och håll pennan i hålet som ritas på papperet.

Kan du träna varför Hart A-ramen teoretiskt drar en perfekt rak linje?

Mer:

  • Länkar, Introduktion
  • Länkar, Del 2: Fyra barer, En frihet
  • Länkar, Del 3: Fyra barer, Två eller Tre positioner
  • Länkar, Del 4: Fyra barer, Fyra positioner
  • Länkar, Del 5: Fyra barer, fler positioner?
  • Linkages, Del 6: Biomimicry
  • Länkar, Del 7: Världen "B.X."
  • Länkar, Del Del 8: På jakt efter rakhet
  • Länkar, Del Del 9: Låt oss få detta rakt
  • Se alla våra Math Monday kolumner

Del

Lämna En Kommentar