Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematik måndag: Avancerad Polyesterfrukt

Mer komplicerade polyederformar är tillgängliga denna vecka, med upp till 38 ansikten, byggd på de färdigheter som utvecklats under de senaste delavtalen.

Vårt första ämne är den här kvitten, en stor, blockig, fast frukt. Det föreslår en solid, blockig utseende polyhedron, såsom rhombicuboctahedronen. Men för en extra twist (bokstavligen) kommer vi att skära en pseudorhombicuboctahedron som tar oss ut ur arkimedan i Johnson solids.

Tillvägagångssättet att carving denna polyhedron är att använda det faktum att dess projicering i alla tre ortogonala riktningarna är en vanlig oktagon. Med andra ord kan vi börja med att skära ett oktaediskt prisma så långt som det är vid, och skära sedan pseudorhombicuboctahedronen (PRCO för korta) ut ur det.

Dessutom har varje åttkantiga projektion ett fyrkantigt ansikte centrerat inuti det. Så den korrekta mallen som du behöver är den här kvadraten i en åttkant - du kan ladda ner den och skriva ut den i varierande skala tills du hittar en som passar dina frukts dimensioner. Gör den första platta snittet och bedöma vilken storlek som ska användas av det resulterande tvärsnittet, kom ihåg att din färdiga skulptur kommer att vara exakt så hög som den är bred.

Observera att det i detta fall är okej om mallarnas hörn sträcker sig något förbi det faktiska skärsnittet längst upp och ner, så länge som huvuddelen av frukten sträcker sig över gränserna för mallen, eftersom PRCO är i kraft avfasad och så kommer materialet nära hörnet ändå att skäras bort. I vilket fall som helst med hänsyn till dessa överväganden kan du börja med att skära ett åttkantigt prisma så högt som det är vid.

Därefter ser du till att du har fyrkantiga-i-ottekantiga mallarna på de två åttkantiga ändarna, med kvadraterna roterade 45 grader från varandra (det är vad som sätter pseudo- i pseduorhombicuboctahedronen, om du justerar dem får du helt enkelt en rhombicuboctahedron ). Markera kvadraternas kvadrater och använd sedan extra kvadratisk-i-oktagonmallar för att markera kvadrarnas kvadrater i mitten av var och en av de stora rektangulära ytorna.

Nu är det dags att börja skära de övriga ansiktena i PRCO. Det är lättast att börja med planet på en av de snedställda fyrkantiga ytorna som förbinder toppytan och en av de sidokantiga ytorna, eftersom det här planet möter den intilliggande höga rektangulära kanten av prisma i en diagonal som löper från toppens toppunkt (som i slutändan kommer att skäras bort) ner till en av de eventuella polyhedronhjularna på prismans sida, som visat. Skär sedan längs den linjen och linjen sammanfogar två toppunkter på toppkanten. Som vanligt, när du har den första klippningen, är det lätt att göra alla skivorna runt toppen genom att successivt dra de faktiska kanterna av den eventuella polyhedronen och sedan använda dem som riktlinjer för skivning. När du är färdig med den övre rundan skivor, vänd den över och exakt upprepa processen på andra sidan, från samma första skär tills du är nere till en sista skiva.

När du har avslutat det sista stycket har du ditt PRCO, visat här i en orientering som visar på "pseudo" -het: det finns en horisontell rad av triangulära kvadratiska ytor som inte kan hända på en vanlig rhombicuboctahedron.

Vår nästa skulptur blir min personliga favorit Archimedean solid, snub kuben.

Eftersom vi ännu inte har huggat ett äpple, och äpplehuggning var en av inspirationerna för hela företaget, tycktes det vara lämpligt att använda detta särskilt stora galaapple. Precis som med PRCO använder vi denna ortogonala projicering av snub-kuben och det faktum att den är inskriven i en vanlig kub för att skära snub-kuben. Börja med att hugga äpplet i en kub (eller nära kuben, eftersom vi inte behöver materialet i kubens yttersta hörn) med sidolängd lika med bredden på projektionen (som du ska skriva ut sex kopior av , skalad till ditt äpple). Sedan papper sidorna på ditt äpple med de sex mallarna; De borde röra varandra vid kanterna.

Markera de fyra hörnen på en liten inre torg på var och en av de sex sidorna. Viktigt: Observera att det finns två inre rutor på den ortogonala projektionen. Göra vissa att du använder samma inriktning av inre kvadrat på varje sida. Jag använde den som lutar något upp till höger på toppen av torget. Att använda den andra orienteringen på varje sida skulle leda till den icke överlägsna spegelbilden av den snubbuben (det vill säga det finns två spegelbildsformer av snubbuben som inte är ekvivalenta i tre dimensioner). Att använda en blandning av orienteringar leder till förvirring och kaos (och därmed svårigheter att fullborda snidningen). När du har markerat alla hörn av dessa rutor har du faktiskt identifierat varje vertex i snub-kuben, i dess faktiska slutliga plats i rymden.

Därför är allt som återstår att skära plan som förbinder tre närmaste grannpunkter på en gång. Du kan kopiera motsvarande kanter från de ortogonala utsprången till startkubben och använda dem som riktlinjer för de ursprungliga nedskärningarna. Men som med tidigare sniderier, när du har gjort en skiva, kommer det att avslöja ytterligare kanter mellan toppunkter som du enkelt kan dra i sin riktiga position och sedan använda som riktlinjer för ytterligare nedskärningar.

Varje så ofta kommer du att springa ur ansikten som har ett intilliggande plan redan skivat, och du måste göra en annan riktning projicerad på material som kommer att skäras bort. Som vanligt kan du se nedan hur det ser ut precis innan sista klippet och när snub-kuben är klar.

För den sista polyhedriska skulpturen i serien kommer vi att vända den här nästan perfekt sfäriska courgetten till en rhombisk dodekahedron, som inte är en arkimedisk solid, utan i stället den dubbla av en, en så kallad katalansk solid.

För variation, lägger den också till en polyhedron vars ansikten inte är vanliga polygoner.

Snidningsmetoden är återigen baserad på dess ortogonala projektion; Skriv ut fyra kopior som är stora för att passa in i din frukt eller grönsak. Du kan göra ett prisma på projiceringsformen, så hög som projiceringen är bred. Markera vinklarna på de övre och nedre utsprången; och sedan består de återstående spetsarna exakt av mittpunkterna för var och en av de vertikala kanterna. Om du ritar i kanterna som ligger på ansikten du redan har huggat (som består av de fyra centrala rhombuskanterna på toppen och botten och de två centrala sidoytorna) kommer du att finna att det finns två icke parallella kanter av varje ansiktet på den sista rhombiska dodekaheden märkt. Så du har alla de riktlinjer som behövs för att slutföra din carving.

Med teknikerna från den här serien om polyhedral carving bör du ha det med att prova massor av olika polyeder där ute med arter av ditt val. När du skapar något underbart (och kanske också gott!), Dela ett foto med [email protected].

Del

Lämna En Kommentar